A1. BIFURC.83P

> >>

Gaten in de chaos...
Bifurcatie en chaos met ax(1-x)
® x
Het telkens opnieuw uitvoeren van eenzelfde berekening levert soms een of meer limieten, soms chaos. Bijv. Doe eerst: .8
® X ENTER en 1.5X(1-X) ® X ENTER; druk nu een stuk of 15 keer op ENTER en zie hoe de antwoorden convergeren naar de limiet 1/3. Doe daarna: .8® X ENTER en 3X(1-X) ® X ENTER en zie na twintig iteraties (herhalingen) dat de antwoorden lijken te convergeren naar twee limieten (ongeveer .61 en .71); dit heet bifurcatie ("tweetandvork"). In het geval a=3 is er in feite nog steeds convergentie naar één limiet maar om dat zichtbaar te maken heb je ontzettend veel (minstens 1 miljoen) iteraties en dus tijd nodig .
Probeer ook eens .8
® X en vervolgens: 4X(1-X), 5X(1-X) en 6X(1-X) ® X.
Het volgende programma maakt de limietwaarde(n) zichtbaar in een grafiekje, de waarden van a in ax(1-x) kun je zelf instellen. Voorbij a=3 splitst de limiet zich, voorbij a=3.5 (ongeveer) ontstaat chaos.

De bifurcatielimieten ("bivergentie") zijn:

Noemen we ax(1-x) even fa(x) en de helling ter plaatse fa'(L); convergentie naar limiet L treedt -samengevat- op als fa(L)=L en |fa'(L)|<=1 is.
Zie ook de programma's A20: Recurlog
>>> en A21: Recurkwa >>>

Nagekomen bericht (
juni 2002):
Een wonderlijk aspect van deze chaos bleek, toen ik met de
TI92plus ontdekte dat er voor waarden van a tussen de 3,82 en 3,87 een gat in de ozonlaag zit! Drievoudige, zesvoudige en zelfs twaalfvoudige limieten (convergenties) had ik niet verwacht...
Zie de volgende plaatjes.
De bovenste twee limieten van het sextet (in de buurt van a=3,85 en x=0,96) zijn bij het gekozen oplossend vermogen in de plaatjes niet te onderscheiden.
Geertje Hek (UVA) wees mij (sep 2004) op enkele onvolkomenheden in deze tekst die ik verbeterd heb. Overigens blijft het natuurlijk een beetje behelpen met een 62 keer 94 beeldschermpunten. Wie zich verder wil verdiepen kan Zebra boekje 16 aanschaffen of (wel veel dikker!) Chaos&Fractals van Heinz-Otto Peitgen.

Ook bij a=3.74 en a=3.63 vallen er gaten die ik aanvankelijk niet kon verklaren (juli 2002).
I
n zo'n venster als bij a=3.84 treden (o.a.) drievoudige limieten op als fa^3(x)= fa(fa(fa(x)))=x (en de afgeleide tussen -1 en 1 ligt).