<<< S50. STOMP.83P

Prof. Henk Tijms (V .U., econometrie) bezorgde mij het volgende probleempje.

A is de oorsprong, tevens middelpunt van de eenheidscirkel; de punten B en C liggen willekeurig binnen de eenheidscirkel.
Hoe groot is de kans dat driehoek ABC stomphoekig is?

Zijn student Tran (Phi Hung) bedacht een buitengewoon elegante oplossing, die ik met zijn toestemming publiceer.

Het antwoord is P = 1/2 + 1/4 = 3/4.
Het programma telt slechts een paar regels en is gebaseerd op de regel dat voor de zijde c die tegenover een stompe hoek ligt geldt:
c2>a2+b2. Je kunt ook met inproducten werken (is eigenlijk hetzelfde).

En nu het bewijs.

Stel dat C het verst van A verwijderd ligt. De rest van Trans toelichting staat hieronder.
De gebieden waar B kan liggen zijn gearceerd.
Bedenk dat de kleine cirkel de verzameling (meetkundige plaats) is van de punten die lijnstuk AC onder een rechte hoek zien (de stelling van Thales).